Szczegółowe wymagania matura z matematyki 2025,2026

Szczegółowe wymagania matura z matematyki 2025,2026

Ostatnie lata obfitowały w szereg zmian programowych zarówno w zakresie matury na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym. Wymagania w latach 2025 i 2026 różnią się od wymagań w latach poprzednich. Dlatego w tym artykule wypisałam szczegółowe wymagania maturalne na maturę z matematyki w latach 2025 i 2026 zgodnie z najnowszymi zmianami naniesionymi przez CKE pod koniec czerwca 2024 roku.

Kolorem żółtym zakreśliłam tematy, które do tej pory nie obowiązywały na maturze, a pojawiają się w tegorocznych wymaganiach lub też zmieniały się w ostatnich latach (warto zwrócić na nie uwagę). Na czerwono przekreśliłam dla ułatwienia analizy te tematy, które znajdowały się w podstawie programowej na rok 2024, a zostały usunięte.

Plik ze szczegółowymi wymaganiami w PDF możesz pobrać bezpłatnie tutaj: https://paulinaodmatematyki.com/wp-content/uploads/2024/07/Wymagania-podstawa-programowa-2025-i1ktg7s.pdf

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu podstawowego

I. Liczby rzeczywiste.

Uczeń:

1. wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

   • a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,

   • b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;

3. stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;

4. stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

5. stosuje własności monotoniczności potęgowania,

6. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

7. stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności;

8. wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;

9. stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

II. Wyrażenia algebraiczne.

Uczeń:

1. stosuje wzory skróconego mnożenia na ; 

2. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;

3. wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;

4. rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;

5. znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;

6. dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x - a;

7. mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;

8. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne;

III. Równania i nierówności.

Uczeń:

1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;

2. interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;

3. rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;

4. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;

5. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;

6. rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

7. rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań.

Uczeń:

1. rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;

2. stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;

3. rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe;

V. Funkcje

Uczeń:

1. określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);

2. oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;

3. odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;

4. odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

5. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;

6. wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;

7. szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

9. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

10. wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

11. wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;

12. na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a),

y = f(x) + b, y = - f(x), y = f (-x) ;

13. posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;

14. posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

VI. Ciągi.

Uczeń:

1. oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2. oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;

3. w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;

4. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;

5. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

6. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

7. wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

VII. Trygonometria.

Uczeń:

1. wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;

2. znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

3. znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;

4. korzysta z wzorów na jedynkę trygonometryczną oraz tg;

5. stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P=1/2absinγ

6. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

VIII. Planimetria.

Uczeń:

1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

2. rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

3. rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;

4. korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;

5. stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;

6. stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;

7. stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;

8. korzysta z cech podobieństwa trójkątów;

9. wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;

10. wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

11)stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;

12. przeprowadza dowody geometryczne.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Uczeń:

1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

2. posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);

3. oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;

4. posługuje się równaniem okręgu;

5. oblicza odległość punktu od prostej;

6. znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;

7. wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

X. Stereometria.

Uczeń:

1. rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;

2. posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;

3. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

4. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

5. określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;

6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7. wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

XI. Kombinatoryka.

Uczeń:

1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;

2. zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:

   • a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,

   • b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Uczeń:

1. oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;

2. stosuje skalę centylową;

3. oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;

4. oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;

5. oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.

** **

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

 

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu rozszerzonego

W przypadku zakresu rozszerzonego uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego oraz ponadto:

I. Liczby rzeczywiste

1. stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;

II. Wyrażenia algebraiczne

1. dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x-a;

2. rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;

3. znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;

4. stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona);

5. korzysta ze wzorów na sumę oraz różnicę dwóch wyrazów podniesionych do potęgi trzeciej i na sumę bądź różnicę dwóch wyrazów podniesioną do n-tej potęgi;

6. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne

III. Równania i nierówności

1. rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 oraz nierówności wielomianowe dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

2. rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić  do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;

3. stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;

4. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;

5. analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

6. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się sprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;

7. rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań

1. rozwiązuje układy równań kwadratowych i liniowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego.*                   *

V. Funkcje

1. na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykres funkcji y = - f(x), y = f (-x), y = |f(x)|;

2. posługuje się złożeniami funkcji;

3. dowodzi monotoniczności funkcji

VI. Ciągi

1. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;

2. rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

VII. Trygonometria

1. stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;

2. posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;

3. wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;

4. stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;

5. korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;

6. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne;

7. stosuje twierdzenie sinusów

8. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych.

VIII. Planimetria

1. stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

2. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

1. znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;

2. znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;

3. zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;

4. wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.

X. Stereometria

1. zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;

2. wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

XI. Kombinatoryka

1. oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;

2. stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

1. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;

2. stosuje schemat Bernoulliego.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

1. oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);

2. stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;

3. stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;

4. oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;

5. stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;

6. rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.