Szczegółowe wymagania matura z matematyki 2025,2026
Ostatnie lata obfitowały w szereg zmian programowych zarówno w zakresie matury na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym. Wymagania w latach 2025 i 2026 różnią się od wymagań w latach poprzednich. Dlatego w tym artykule wypisałam szczegółowe wymagania maturalne na maturę z matematyki w latach 2025 i 2026 zgodnie z najnowszymi zmianami naniesionymi przez CKE pod koniec czerwca 2024 roku.
Kolorem żółtym zakreśliłam tematy, które do tej pory nie obowiązywały na maturze, a pojawiają się w tegorocznych wymaganiach lub też zmieniały się w ostatnich latach (warto zwrócić na nie uwagę). Na czerwono przekreśliłam dla ułatwienia analizy te tematy, które znajdowały się w podstawie programowej na rok 2024, a zostały usunięte.
Plik ze szczegółowymi wymaganiami w PDF możesz pobrać bezpłatnie tutaj: https://paulinaodmatematyki.com/wp-content/uploads/2024/07/Wymagania-podstawa-programowa-2025-i1ktg7s.pdf
Wymagania szczegółowe CKE z zakresu podstawowego
I. Liczby rzeczywiste.
Uczeń:
1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
- a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
- b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5) stosuje własności monotoniczności potęgowania,
6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności;
8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
II. Wyrażenia algebraiczne.
Uczeń:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na ;
2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
5) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
6) dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x – a;
7) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne;
III. Równania i nierówności.
Uczeń:
1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
7) rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań.
Uczeń:
1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
3) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe;
V. Funkcje
Uczeń:
1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a),
y = f(x) + b, y = – f(x), y = f (-x) ;
13) posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
VI. Ciągi.
Uczeń:
1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
6) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
VII. Trygonometria.
Uczeń:
1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
4) korzysta z wzorów na jedynkę trygonometryczną oraz tg;
5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P=1/2absinγ
6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
VIII. Planimetria.
Uczeń:
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11)stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
12) przeprowadza dowody geometryczne.
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Uczeń:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4) posługuje się równaniem okręgu;
5) oblicza odległość punktu od prostej;
6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
7) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
X. Stereometria.
Uczeń:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
XI. Kombinatoryka.
Uczeń:
1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
- a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
- b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Uczeń:
1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2) stosuje skalę centylową;
3) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
4) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
5) oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy
Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Wymagania szczegółowe CKE z zakresu rozszerzonego
W przypadku zakresu rozszerzonego uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego oraz ponadto:
I. Liczby rzeczywiste
1) stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;
II. Wyrażenia algebraiczne
1) dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x-a;
2) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
3) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
4) stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona);
5) korzysta ze wzorów na sumę oraz różnicę dwóch wyrazów podniesionych do potęgi trzeciej i na sumę bądź różnicę dwóch wyrazów podniesioną do n-tej potęgi;
6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne
III. Równania i nierówności
1) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 oraz nierówności wielomianowe dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
3) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
4) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;
5) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.
6) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się sprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
7) rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań
1) rozwiązuje układy równań kwadratowych i liniowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego.
V. Funkcje
1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykres funkcji y = – f(x), y = f (-x), y = |f(x)|;
2) posługuje się złożeniami funkcji;
3) dowodzi monotoniczności funkcji
VI. Ciągi
1) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
2) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
VII. Trygonometria
1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
2) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
4) stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne;
7) stosuje twierdzenie sinusów
8) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych.
VIII. Planimetria
1) stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
2) stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
1) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
2) znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
3) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
4) wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
X. Stereometria
1) zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
2) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
XI. Kombinatoryka
1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
2) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
2) stosuje schemat Bernoulliego.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy
1) oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
2) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;
3) stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
5) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
